Question

已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．

（1）求椭圆方程,并求当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值．

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由焦点坐标可求的值，根据的关系可求得的值，从而得到椭圆的方程；写出直线方程，与椭圆方程联立消掉得到关于的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可得到；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立消去，得到关于的方程，根据韦达定理可用表示，可转化为关于的式子，进而变为关于的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．

试题解析：（1）因为为椭圆的焦点,所以又

所以所以椭圆方程为

因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到

所以

所以

（2）设直线的方程为：，则

由 得，．

设，，则，．

所以，，，

当时，．

由，得 ．当时，

从而，当时，取得最大值．

考点：椭圆的方程与几何性质及直线与椭圆位置关系的应用．

【方法点晴】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，运算量大，对学生的思维能力和运算能力要求较高，属于难题．本题解答的技巧在于设直线方程为，这样可以避免对直线斜率的存在性进行讨论，减少了思维量，难点在于最后对的最值的处理，经常运用基本不等式或函数知识来解决．