Question

在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为，（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程与曲线C₂的直角坐标方程；

（Ⅱ）设P为曲线C₁上的动点，求点P到C₂上点的距离的最小值．

Answer

（Ⅰ）曲线C1的普通方程是．曲线C2的直角坐标方程时x+y﹣8=0．

（Ⅱ）当sin（α+）=1时，d取得最小值=3．

【解析】

试题分析：（I）利用cos2α+sin2α=1消参数得到C1的普通方程，将极坐标方程左侧展开即可得到直角坐标方程；

（II）利用C1的参数方程求出P到C2的距离，根据三角函数的性质求出距离的最小值．

【解析】
（I）由得cosα=，sinα=y．∴曲线C1的普通方程是．

∵，∴ρsinθ+ρcosθ=8．即x+y﹣8=0．∴曲线C2的直角坐标方程时x+y﹣8=0．

（II）设P点坐标（，sinα），∴P到直线C2的距离d==，

∴当sin（α+）=1时，d取得最小值=3．

考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．