Question

已知函数f（x）=lnx+x²﹣ax，a∈R．

（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（0，）和（1，+∞）上是增区间，（，1）上是减区间．（Ⅱ）（﹣∞，1]．

【解析】

试题分析：（1）利用导数求函数的单调区间与极值，先求导数，令导数大于0，解得x的范围为函数的增区间，令导数小于0，解得x的范围为函数的减区间．

（2）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，令g（x）=，求g（x）的范围，再约束a的范围．

【解析】
（1）【解析】
（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．

f′（x）=+2x﹣3=，

当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，

当＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，

∴（0，）和（1，+∞）上是增区间，（，1）上是减区间．

（2）由f（x）＞0，得a＜在x＞1时恒成立，

令g（x）=，则，

令h（x）=1+x2﹣lnx，则=＞0，

∴h（x）在（1，+∞）为增函数，h（x）＞h（1）=2＞0，

∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）为增函数，

∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即实数a的取值范围为（﹣∞，1]．

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．