Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；
（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．
【解析】
（1）由得a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2
椭圆上的点到点Q的距离=
①当-b≤-1时，即b≥1，得b=1
②当-b＞-1时，即b＜1，得b=1（舍）
∴b=1
∴椭圆方程为
（2）假设M（m，n）存在，则有m2+n2＞1
∵|AB|=，点O到直线l距离
∴=
∵m2+n2＞1
∴0＜＜1，∴
当且仅当，即m2+n2=2＞1时，S△AOB取最大值，
又∵
解得：
所以点M的坐标为或或或，△AOB的面积为．