Question

已知函数f（x）=+aln（x+1）
（I）当a=2时，求f（x）的单调区间和极值；
（II）若f（x）在[2，4]上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer

（I）当a=2时，f′（x）==，再根据导数与单调性的关系及极值的定义求出f（x）的单调区间和极值．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≤0恒成立，由此得到参数所满足的不等式即可求出实数a的取值范围．
【解析】
（I）当a=2时，f（x）=+2ln（x+1），定义域是（-1，0）∪（0，+∞），
，即f′（x）==，
由f′（x）＞0，得，-1＜x＜-，或x＞1．
由f′（x）＜0，得-，或0＜x＜1．
所以f（x）的单调递增区间为（-1，-）和（1，+∞），
f（x）的减区间为（-，0）和（0，1）．

 x （-1，-）  -   （-，0）  （0，1）  1 （1，+∞） 
 f′（x） + 0  - -  0 +
 f（x） ↑  极大值  ↓ ↓  极小值 ↑ 

∴极大值f（-）=-2-2ln2，极小值f（1）=-1+2ln2．
（II）若f（x）为增函数，则当x∈[2，4]时，f′（x）≥0恒成立，
即，变形，得a；
当x∈[2，4]时，，
∴a．
若f（x）为减函数，则当x∈[2，4]时，f（x）≤0恒成立，
即，变形得a≤，
当x∈[2，4]时，=，∴a≤，
综上所述：a或a．