Question

A组：直角坐标系xoy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x²+y²-4x+2=0的圆心．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l₁，l₂．当直线l₁，l₂都与圆C相切时，求P的坐标．
B组：如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知点（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P，若，求直线AF₁的斜率．

Answer

A：（1）确定圆心坐标，设出椭圆方程，即可求得结论；
（2）确定l1，l2的方程，利用直线与圆相切，可得斜率之间的关系，结合椭圆方程，即可求得P的坐标；
B：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和都在椭圆上列式求解．
（2）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件，用待定系数法求解．
A组：
【解析】
（1）由x2+y2-4x+2=0，得（x-2）2+y2=2，∴圆C的圆心为点（2，0），
从而可设椭圆E的方程为，其焦距为2c，
由题设知，∴a=2c=4，b2=a2-c2=12．
故椭圆E的方程为：；
（2）设点P的坐标为（x，y），l1，l2的斜率分别为k1，k2．
则l1，l2的方程分别为l1：y-y=k1（x-x），l2：y-y=k2（x-x），且．
由l1与圆c：（x-2）2+y2=2相切，得，
即．
同理可得．
从而k1，k2是方程[（2-x）2-2]k2+2（2-x）yk+y2-2=0的两个实根
所以①，且k1k2==
∵，
∴5x2-8x-36=0，
∴x=-2或x=
由x=-2得y=±3；由x=得y=±满足①
故点P的坐标为（-2，3）或（-2，-3），或（，）或（，-）
B组
（1）【解析】
由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2-1．
由点（e，）在椭圆上，得
∴，∴a2=2
∴椭圆的方程为+y2=1．
（2）【解析】
由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），
又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，
∴由，可得（m2+2）y12-2my1-1=0．
∴y1=，
∴|AF1|=①
同理|BF2|=②
由①②得|AF1|-|BF2|=，∴=，解得m2=2．
∵注意到m＞0，∴m=．
∴直线AF1的斜率为．