Question

已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足，S₇=56．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁且b_n+1-b_n=a_n+1，求数列的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由已知可得，可求a3，利用等差数列的求和公式及性质可求a4，则d=a4-a3，从而可求通项
（Ⅱ）由已知可得bn+1-bn=2（n+1），利用叠加法可求bn，然后利用裂项相消法可求数列的和
【解析】
（Ⅰ）∵{an}是等差数列且，
∴，
又∵an＞0∴a3=6．…（2分）
∵，…（4分）
∴d=a4-a3=2，
∴an=a3+（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵bn+1-bn=an+1且an=2n，
∴bn+1-bn=2（n+1）
当n≥2时，bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+…+（b2-b1）+b1
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
当n=1时，b1=2满足上式，bn=n（n+1）
∴…（10分）
∴=．        …（12分）