Question

A组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

Answer

A（1）由题设知，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+，联立，得4x2+6-3=0，再由弦长公式能求出|AB|．
B（1）由题设知，由此能求出双曲线C的方程．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+，联立，得（3k2+1）x2+6-3=0，由=2，得k2=-．不成立．故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2．
【解析】
A（1）∵双曲线的离心率，
一条渐近线方程为，
∴，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为．
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+，
联立，得4x2+6-3=0，
△=（6）2+4×4×3=120，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，k=tan45°=1，
∴|AB|==．
BA（1）∵双曲线的离心率，
一条渐近线方程为，
∴，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+，
联立，得（3k2+1）x2+6-3=0，
∵直线l与双曲线c有两个不同交点A和B，
∴△=（6k）2+4×（3k2+1）×3＞0，k∈R．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=-，
y1y2=（kx1+）（kx2+）=k2x1x2+（x1+x2）+2
=--+2
=．
∵=2，
∴x1x2+y1y2=-+==2，
整理，得k2=-．不成立．
故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2．