解法一:
(1)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中,由AA1⊥底面ABCD可知:AC是A1C在平面ABCD上的射影.因为BD⊥AC,所以BD⊥A1C;
(2)二面角的度量关键在于作出它的平面角,常用的方法就是三垂线定理.连接A1E,C1E,A1C1.与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角;
(3)求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算”,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求.还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解.本题采用的是“几何法”:过B作BF∥AD交AC于F,连接FC1,则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.
解法二:
(1)同解法一;
(2)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.连接A1E,C1E,A1C1,与(1)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角.因为⊥,所以EA1⊥EC1.则二面角A1-ED-C1的大小为90°.
解法三:
(1)同解法一;
(2)建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连接A1E,C1E,A1C1.与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,所以∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.由E(0,0,0)A1(0,-1,),C1(0,3,).因为⊥,所以EA1⊥EC1.则二面角A1-ED-C1的大小为90°.
解法二、三都是用的“向量法”,只是空间直角坐标系建立的位置不同,这样各个点的坐标也会随之改变.这种解法的好处就是:(1)解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理,因为这些可以用向量方法来解决.(2)即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出,因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.
【解析】
法一:
(I)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中,
∵AA1⊥底面ABCD.∴AC是A1C在平面ABCD上的射影.
∵BD⊥AC.∴BD⊥A1C;
(II)连接A1E,C1E,A1C1.
与(I)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.
∵AD⊥DC,∴∠A1D1C1=∠ADC=90°,
又A1D1=AD=2,D1C1=DC=2,AA1=且AC⊥BD,
∴A1C1=4,AE=1,EC=3,∴A1E=2,C1E=2,
在△A1EC1中,A1C12=A1E2+C1E2,∴∠A1EC1=90°,
即二面角A1-BD-C1的大小为90°.
(III)过B作BF∥AD交AC于F,连接FC1,
则∠C1BF就是AD与BC1所成的角.
∵AB=AD=2,BD⊥AC,AE=1,
∴BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,∴FC1=,BC1=,
在△BFC1中,cos∠C1BF==,∴∠C1BF=arccos
即异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.
法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
连接A1E,C1E,A1C1.
与(1)同理可证,BD⊥A1E,BD⊥C1E,
∴∠A1EC1为二面角A1-ED-C1的平面角.
由A1(2,0,)C1(0,2,)E(,,0)
得=(,-,),=(-,,)
∴•=--+3=0,
∴⊥,即EA1⊥EC1.
∴二面角A1-ED-C1的大小为90°
(Ⅲ)如图,由D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,),B(3,,0),
得=(-2,0,0),=(-3,,),
∴•=6,||•=6,||=2,||=
∴cos(,)===,
∵异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos.
法三:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连接A1E,C1E,A1C1.
与(Ⅰ)同理可证BD⊥A1E,BD⊥C1E,
∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角.
由E(0,0,0)A1(0,-1,),C1(0,3,).
得(0,-1,),=(0,3,).
∵•=-3+3=0,
∴⊥即EA1⊥EC1,
∴二面角A1-BD-C1的大小为90°.