Question

在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4和⊙C₂：（x-5）²+（y-1）²=4
（1）若直线l过点O（0，0），且被⊙C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：过点P的任意互相垂直的直线l₁和l₂，只要l₁和l₂与⊙C₁和⊙C₂分别相交，必有直线l₁被⊙C₁截得的弦长与直线l₂被⊙C₂截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标；
（3）将（2）的直线l₁和l₂互相垂直改为直线l₁和l₂所成的角为60°，其余条件不变，直接写出所有这样的点P的坐标．（直线与直线所成的角与两条异面直线所成的角类似，只取较小的角度．）

Answer

（1）分类讨论，由垂径定理，结合点到直线距离公式，即可求得结论；
（2）考虑特殊情况，确定点P的坐标，下面对这两点加以检验，即可得到结论；
（3）有四个点，即可写得它们的坐标．
【解析】
（1）当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx，即kx-y=0
由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离，
结合点到直线距离公式，得：，解得：k=0或
求直线l的方程为：y=0或，即y=0或3x+4y=0…（4分）
（2）从形入手．由题意知任意的互相垂直的l1和l2均使所截得的弦长相等，我们考虑特殊情况，当互相垂直的l1和l2分别过⊙C1、⊙C2的圆心时，此时的△PC1C2时等腰直角三角形，可以解得这样的点P的坐标分别为（1，5）、（1，-3），…（6分）
下面对这两点加以检验．
当P为（1，5）时，根据题意斜率必然存在，设：l1：y-5=k（x-1），l2：，点C1到l1的距离为，点C2到l2的距离为，所以d1=d2，有两圆半径相等，所以，即直线l1被⊙C1截得的弦长与直线l2被⊙C2截得的弦长相等．
同理可以检验，（1，-3）也满足题意．                       …（12分）
（3）有四个点，它们的坐标分别为：、、、
…（14分）