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如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面A...

如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E 为侧棱PD的中点.
(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)若AD=2AB=2,求直线PB与平面ABCD所成角的正切值;
(3)当manfen5.com 满分网为何值时,PB⊥AC?

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(1)要证PB∥平面EAC,根据线面平行的判定定理,只需证明PB平行于平面EAC中的一条直线.连接BD交AC于O,连接EO,因为O、E分别为BD、PD的中点,根据三角形的中位线的性质,可知EO∥PB,从而问题得证; (2)设N为AD中点,连接PN,BN,则PN⊥AD,从而可得∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角,进而可求PB与平面ABCD所成角正切值; (3)由(2)知,NB为PB在面ABCD上的射影,要使PB⊥AC,需且只需NB⊥AC,利用Rt△NAB∽Rt△CBA,可求得=时,PB⊥AC. (1)证明:连接BD交AC于O,连接EO, 因为O、E分别为BD、PD的中点, 所以EO∥PB,…(2分) 因为E0⊂平面EAC,PB⊄平面EAC, 所以PB∥平面EAC.…(4分) (2)【解析】 设N为AD中点,连接PN,BN,则PN⊥AD…(5分) 又面PAD⊥底面ABCD, 所以PN⊥底面ABCD…(6分) 所以∠PBN为直线PB与平面ABCD所成的角,…(7分) 又AD=2AB=2,则PN=,…(8分) 所以tan∠PBN=, 即PB与平面ABCD所成角正切为值…(9分) (3)由(2)知,NB为PB在面ABCD上的射影,要使PB⊥AC,需且只需NB⊥AC.(10分) 在矩形ABCD中,设AD=1,AB=x,, 由∠ANB=∠BAC,得Rt△NAB∽Rt△CBA,…(11分) 解之得:,…(13分) 所以,当=时,PB⊥AC.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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