Question

已知f（x）=ln（e^x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）≤xlog₂x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．

Answer

（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（ex）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0．
（2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，可得λ的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，
令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（ex）=x． …（4分）
显然有f（-x）=-f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）
（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）
∵函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，…（11分）
∴λ≤1，即λ的取值范围为（-∞，1]．…（12分）