Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²．数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₄=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{c_n}满足c_n=a_bn，求数列{c_n}的前n项和T_n，并证明T_n≥1．

Answer

（Ⅰ）对于数列{an}，已知Sn=n2，利用递推公式可求当n≥2时，an=Sn-Sn-1，当n=1时，a1=S1=1可求an，对于数列{bn}，是等比数列，设公比为q，及b1=1，b4=b1q3=8，可求q，进而可求bn
（Ⅱ）由题意可得，cn=abn=2bn-1=2n-1，结合数列的特点可考虑利用分组求和，结合等差数列及等比数列的求和公式可求．
（Ⅰ）【解析】
∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-（n-1）2=2n-1．
当n=1时，a1=S1=1亦满足上式，故an=2n-1，（n∈N*）．     
数列{bn}为等比数列，设公比为q，
∵b1=1，b4=b1q3=8，∴q=2．
∴bn=2n-1（n∈N*）．    
（Ⅱ）证明：cn=abn=2bn-1=2n-1．
∴Tn=c1+c2+c3+…cn=（21-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（21+22+…2n）-n=
∴Tn=2n+1-2-n．     
∵Tn-Tn-1=2n-1＞0，∴Tn＞Tn-1，∴Tn＞Tn-1＞…＞T1=1．
∴Tn≥1．