Question

已知函数f（x）=lnx-，g（x）=f（x）+ax-6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x²-mx+4，当a=2时，若∃x₁∈（0，1），∀x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a．由此能够判断f（x）的单调性．
（Ⅱ）由g（x）=ax-，定义域为（0，+∞），知-=，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-，，由g′（x）=0，得x=或x=2．当时，g′（x）≥0当x时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，，由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞-a；由f′（x）＜0，得x＜-a；
故f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax-，g（x）的定义域为（0，+∞），
-=，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax2-5x+a≥0，
∴a（x2+1）≥5x，
即，
∴．
∵，当且仅当x=1时取等号，
所以a．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x-，，
由g′（x）=0，得x=或x=2．
当时，g′（x）≥0；当x时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，，
而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有，
∴，
∴，
解得m≥8-5ln2，
所以实数m的取值范围是[8-5ln2，+∞）．