Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，数列{b_n}满足：，，
（1）求数列{a_n}的通项公式和数列{b_n}的通项公式；
（2）设，是否存在实数λ，当n∈N⁺时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2，所以an+1-an=2，由此能求出数列{an}的通项公式．由（n≥1），知（n≥2），所以（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2），由此能够得到bn．
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ．假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n．再由n的奇偶性进行分类讨论知存在实数λ，且λ∈（-，）．
【解析】
（1）取p=n，q=1，则an+1=an+a1=an+2
∴an+1-an=2（n∈N*）
∴{an}是公差为2，首项为2的等差数列
∴an=2n
∵（n≥1）①
∴（n≥2）②
①-②得：（n≥2）bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n≥2）
当n=1时，a1=∴b1=6满足上式
∴bn=（-1）n-1（2n+1+2）（n∈N*）
（2）Cn=3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ
假设存在λ，使Cn+1＞Cn（n∈N*）3n+1+（-1）n（2n+2+2）•λ＞3n+（-1）n-1（2n+1+2）•λ[（-1）n（2n+2+2）-（-1）n-1（2n+1+2）]•λ＞3n-3n+1=-2•3n（-1）n（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n
当n为正偶函数时，（3•2n+1+4）λ＞-2•3n恒成立λ＞（-）max=（-）max
当n=2时（-）max=-
∴λ＞-
当n为正奇数时，-（3•2n+1+4）•λ＞-2•3n恒成立
∴λ＜（）min=（）min
当n=1时[]min=
∴λ＜
综上，存在实数λ，且λ∈（-，）（16分）