Question

若x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer

（1）因为，所以，因此a=16，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，故在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，由此能求出b的取值范围．
【解析】
（1）因为，
所以，因此a=16…2分
故 f（x）=16ln（1+x）+x2-10x，x∈（-1，+∞），
…4分
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞），f（x）的单调减区间是（1，3）…6分
（2）由（1）知，f（x）在（-1，1）内单调增加，
在（1，3）内单调减少，在（3，+∞）上单调增加，
所以f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21，…8分
所以在f（x）的三个单调区间（-1，1），（1，3），（3，+∞），
直线y=b与y=f（x）的图象各有一个交点，
当且仅当f（3）＜b＜f（1）．
因此b的取值范围为（32ln2-21，16ln2-9）．…12分．