Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x．
（1）当x＜0时，求函数f（x）的表达式；
（2）若g（x）=2^x（x∈R），集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16}，试判断集合A和B的关系；
（3）已知对于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求证：函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．

Answer

（1）根据函数为奇函数可推断出f（-x）=-f（x）进而根据x＞0时函数的解析式，求得x＜0时，函数的解析式．
（2）根据f（x）和g（x）的解析式，根据对数函数和指数函数的单调性，利用集合的条件分别求得集合A和集合B，进而可判断出二者的关系．
（3）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可，分x∈（0，1]和x∈（2k，2k+_1）（k∈N）两种情况，讨论函数y1=log2x，y2=x图象的位置关系，可得答案．
【解析】
（1）∵函数f（x）为奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log2x
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=-log2（-x）
（2）∵当x＞0时，f（x）=log2x≥2，解得x≥4
当x＜0时，f（x）=-log2（-x）≥2，解得-≤x＜0
∴集合A={x|x≥4或-≤x＜0}，
依题意2x≥16，解得x≥4，
∴集合B={x|x≥4}，
∴A是B的真子集；
（3）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可
令x∈（0，+∞），函数y1=log2x，y2=x
当x∈（0，1]，y1≤0，y2＞0，则y1＜y2，
当x∈（2k，2k+_1）（k∈N）时，y1≤k+1，y2＞2k≥k+1，则y1＜y2，
则（0，+∞）上直线y=x始终在函数f（x）的图象下方
综上所述，函数f（x）的图象与直线y=x没有交点