Question

设函数f（x）=sin（2π+ϕ）（-π＜ϕ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．

Answer

（Ⅰ）y=f（x）图象的一条对称轴是直线．就是时函数取得最值，结合ϕ的范围，求出ϕ的值；
（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，直接求函数y=f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）利用导数求出导函数的值域，从而证明直线5x-2y+c=0与函数y=f（x）的图象不相切．
【解析】
（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，
∴，∴，k∈Z．
∵-π＜ϕ＜0，ϕ=-．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=-，因此．
由题意得2kπ-，k∈Z．
所以函数的单调增区间为．
（Ⅲ）证明：∵|y'|==，
所以曲线y=f（x）的切线斜率取值范围为[-2，2]，
而直线5x-2y+c=0的斜率为＞2，
所以直线5x-2y+c=0与函数的图象不相切．