Question

已知函数．
（I）讨论f（x）的单调性；
（II）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer

（I）先求出f（x）的定义域，对f（x）进行求导，求出f（x）的导数，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性；
（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f′（x）=0的两个根为x1，x2，代入f（x1）+f（x2），对其进行化简，可以求证f（x1）+f（x2）的最小值大于3-2ln2即可；
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为（0，-∞），
f′（x）=--2ax+1=
a＞0，设g（x）=-2ax2+x-1，△=1-8a，
（1）当a≥，△≤0，g（x）≤0，
∴f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上递减，
（2）当0＜a＜时，△＞0，f′（x）=0可得x1=，x2=，
若f′（x）＞0可得x1＜x＜x2，f（x）为增函数，
若f′（x）＜0，可得0＜x＜x1或x＞x2，f（x）为减函数，
∴函数f（x）的减区间为（0，x1），（x2，+∞）；增区间为（x1，x2）；
（II）由（I）当0＜a＜，函数f（x）有两个极值点x1，x2，
∴x1+x2=，x1x2=，
f（x1）+f（x2）=-lnx1-ax12+x1-lnx2-ax22+x2
=-ln（x1x2）-a（x12+x22）+（x1+x2）=-ln（x1x2）-a（x1+x2）2+2ax1x2+（x1+x2）
=-ln-a×+2a×=ln（2a）++1=lna++ln2+1
设h（a）=lna++ln2+1，
h′（a）=-=＜0（0＜a＜），
所以h（a）在（0，）上递减，
h（a）＞h（）=ln++ln2+1=3-2ln2，
所以f（x1）+f（x2）＞3-2ln2；