Question

设函数f（x）=sinx-xcosx，x∈R．
（I）当x＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（II）当x∈[0，2013π]时，求所有极值的和．

Answer

（I）由f（x）=sinx-xcosx，x＞0，知f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出函数f（x）的单调区间．
（II）当x=π，3π，…，2kπ+π，…时，函数f（x）取极大值，当x=2π，4π，…，2kπ+2π，…时，函数f（x）取极小值，由此能求出当x∈[0，2013π]时，所有极值的和．
【解析】
（I）∵f（x）=sinx-xcosx，x＞0，
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
当f′（x）＞0时，sinx＞0，
∴2kπ＜x＜2kπ+π，k∈N，
∴函数f（x）的增区间为（2kπ，2kπ+π），k∈N．
当f′（x）＜0时，sinx＜0，
∴2kπ+π＜x＜2kπ+2π，k∈N，
∴函数f（x）的减区间为（2kπ+π，2kπ+2π），k∈N．
（II）当x=π，3π，…，2kπ+π，…时，函数f（x）取极大值，
当x=2π，4π，…，2kπ+2π，…时，函数f（x）取极小值，
∴当x∈[0，2013π]时，所有极值的和为：
f（π）+f（2π）+f（3π）+f（4π）+…+f（2013π）
=π-2π+3π-4π+…-2012π+2013π
=1007π．