Question

设函数f（x）=x³+bx²+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值．
（I）求b，c；
（II）求函数的单调区间；
（III）解不等式|f（x）|≤2．

Answer

（I）求导函数，利用函数f（x）=x3+bx2+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值，建立方程，可求b，c；
（II）利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（III）不等式|f（x）|≤2，等价于-2≤f（x）≤2，由此可得不等式的解集．
【解析】
（I）求导函数可得f′（x）=3x2+2bx+c
∵函数f（x）=x3+bx2+cx为奇函数，且在x=-1时取得极大值
∴f（-1）+f（1）=0，f′（1）=0
∴b=0，3+2b+c=0
∴b=0，c=-3；
（II）f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）
令f′（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f′（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函数的单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞），单调减区间为（-1，1）；
（III）不等式|f（x）|≤2，等价于-2≤f（x）≤2
∴f（x）-2=x3-3x-2=（x+1）2（x-2）≤0，且f（x）+2=x3-3x+2=（x-1）2（x+2）≥0
∴-2≤x≤2
即不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．