Question

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：成立．

Answer

（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（Ⅱ）要证成立，由于x＞0，则只需证明ln（x+1）+x--3＜0在[1，2]上恒成立，构造函数g（x）=ln（x+1）+x--3，确定函数的单调性，即可得证．
（Ⅰ）【解析】
函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当a＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0得
∴函数f（x）在（）上是增函数，在上是减函数；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=ln（x+1）+x
要证成立，
即证明ln（x+1）+x--3＜0在[1，2]上恒成立，
令g（x）=ln（x+1）+x--3，易得函数g（x）在x∈[1，2]时单调递增
∵g（1）=0，
则g（x）≥0
∴成立．