Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；
（Ⅱ）若∠B=60°，b=4，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）对其角A，B，C的对边分别为a，b，c，可得，利用倍角公式进行化简，再利用正弦定理进行证明；
（Ⅱ）因为∠B=60°，b=4，利用余弦定理得42=a2+c2-2accos60°，求出ac的值，利用三角形的面积的公式进行求解；
【解析】
（Ⅰ），
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：
sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，
整理得：a+c=2b，
故a，b，c为等差数列；
（Ⅱ）由∠B=60°，b=4及余弦定理得：42=a2+c2-2accos60°，
∴（a+c）2-3ac=16，
又由（Ⅰ）知a+c=2b，代入上式得4b2-3ac=16，解得ac=16，
∴△ABC的面积S=acsinB=acsin60°=4；