Question

已知离心率为的椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求该圆的方程，并求|AB|的最大值．

Answer

（1）利用离心率为的椭圆的焦距为4，求出几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设出方程与椭圆方程联立，利用该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，即可求出圆的方程，表示出|AB|，即可求|AB|的最大值．
【解析】
（1）由题意，2c=4，，∴c=2，a=2
∴b2=a2-c2=4，∴椭圆E的方程为=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=8（8k2-m2+4）＞0，∴8k2-m2+4＞0
x1+x2=-，x1x2=，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
要使⊥，只需x1x2+y1y2=0，即，所以3m2-8k2-8=0，
所以k2=≥0
又8k2-m2+4＞0，所以，所以，即或，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，
所以所求的圆为，此时圆的切线y=kx+m都满足或；
当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆=1的两个交点为（，±）或（-，±）满足⊥，
综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥．
因为x1+x2=-，x1x2=，
所以|AB|=|x1-x2|=，
当k≠0时，|AB|=
因为≥8，所以，所以
当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=．
综上可得