Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）
（1）若定义域内存在x，使得不等式f（x）-m≤0成立，求实数m的最小值；
（2）g（x）=f（x）-x²-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．

Answer

（1）存在x，使m≥f（x）min，故，由此导出f（x）min=f（0）=1，从而能够求出实数m的最小值．
（2）由g（x）=f（x）-x2-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，知x+1-2ln（1+x）=a有两个交点，令h（x）=x+1-2ln（1+x），=，由此利用函数的单调性能够求出a的取值范围．
【解析】
（1）存在x，使m≥f（x）min，
∵f（x）=（1+x）2-2ln（1+x），
∴
=，x＞-1．
令f′（x）＞0，得x＞0，
令f′（x）＜0，得x＜0，
∴y=f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴f（x）min=f（0）=1，
∴m≥1，
∴实数m的最小值是1．
（2）∵g（x）=f（x）-x2-x-a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，
∴g（x）=x+1-a-2ln（1+x）在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，
∴x+1-2ln（1+x）=a有两个交点，
令h（x）=x+1-2ln（1+x），
=，
由h′（x）＞0，得x＞1，
由h′（x）＜0，得x＜1，
∴y=f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
∵h（0）=1-2ln1=1，
h（1）=2-2ln2，
h（3）=4-2ln4，
∴2-2ln2＜a≤1．