Question

（理）一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{a_n}，对于任意正整数n，当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=．
（1）试写出该数列的前6 项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第5个5是该数列的第几项？
（3）求该数列的前2ⁿ项的和T_n．

Answer

（1）根据题意可知an=，（n∈N*），由此得该数列的前6项．
（2）借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．即可求出第5个5在该数列中所占的位置．
（3）由条件可得 Tn =[1+3+5+7+…+（2n-1）]+（a2 +a4 +a6+…+a）=[1+3+5+7+…+（2n-1）]+[1+3+5+7+…+（2n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2n-2-1）]+…+（1+3）+1，根据1+3+5+7+…+（2n-1）=4n-1，可得 Tn =4n-1+4n-2+4n-3+…+41+4+1，根据等比数列前n项和公式求得结果．
【解析】
：（1）根据题意可知an=，（n∈N*）
由此得：该数列的前6项分别为1，1，3，1，5，3．
（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔细观察发现a5=5，a10=5，a20=5，a40=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第5个5是该数列的第5×25-1=80项．
第5个5是该数列的第80项．
（3）由题意可得
Tn =[1+3+5+7+…+（2n-1）]+（a2 +a4 +a6+…+a2n）
=[1+3+5+7+…+（2n-1）]+（a1+a2+a3+…+a2n-1）
=[1+3+5+7+…+（2n-1）]+[1+3+5+7+…+（a2n-1-1）]+（a2 +a4 +a6+…+a）
…
=[1+3+5+7+…+（2n-1）]+[1+3+5+7+…+（2n-1-1）]+[1+3+5+7+…+（2n-2-1）]+…+（1+3）+1．
由于1+3+5+7+…+（2n-1）==（2n-1）2=4n-1，
故 Tn =4n-1+4n-2+4n-3+…+41+4+1=+1=．