Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在BC₁上运动，给出下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；  ②DP⊥BC₁；③A₁P∥平面ACD₁； ④平面PDB₁⊥ACD₁；
其中正确的命题个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．
②，当P 与B重合时，DP与BC1；成60°角，不垂直．
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；
④连接DB1，容易证明DB1⊥面ACD1 ，从而可以证明面面垂直．
【解析】
对于①，V A-D1PC=V C-AD1P，C到面 AD1P的距离不变，且三角形 AD1P的面积不变．∴三棱锥A-D1PC的体积不变；  正确；
②连接DB，DC1，可知△DBC1是正三角形，当且仅当P为BC1中点时，DP⊥BC1，考虑特殊位置，当P 与B重合时，DP与BC1成60°角，不垂直．
错误
③连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1；．正确．
④连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PDB1 从而可以证明平面PDB1⊥ACD1；正确．
正确的命题个数有 3个．
故选C．