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已知函数f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,x∈[0,+∞),求f...

已知函数f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x,x∈[0,+∞),求f(x)的最大值.
求导函数f'(x)=2ln(1+x)-2x,构造新函数g(x)=2ln(1+x)-2x,确定g(x)在x=0处取得极大值,且g(0)=0,从而可得f'(x)≤0(当且仅当x=0时取等号),由此可求函数的最大值. 【解析】 由f(x)=2(1+x)ln(1+x)-x2-2x得f'(x)=2ln(1+x)-2x, 令g(x)=2ln(1+x)-2x,则, 当-1<x<0时,g'(x)>0,g(x)在(-1,0)上为增函数; 当x>0时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)上为减函数, 所以g(x)在x=0处取得极大值,且g(0)=0, 故f'(x)≤0(当且仅当x=0时取等号), 所以函数f(x)为[0,+∞)上的减函数, 则f(x)≤f(0)=0,即f(x)的最大值为0.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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