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数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+...

数列{an}的前n项和为Sn，存在常数A，B，C，使得an+Sn=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{an}为等差数列，求证：3A-B+C=0．
已知数列{an}为等差数列设公差为d，根据数列通项公式，可前n项和公式代入an+Sn=An2+Bn+C，可以求出A、B、C，再进行证明； 【解析】 因为{an}为等差数列，设公差为d，由an+Sn=An2+Bn+C， 得a1+（n-1）d+na1+n（n-1）d=an+Sn=An2+Bn+C，…（2分） 即（d-A）n2+（a1+-B）n+（a1-d-C）=0对任意正整数n都成立．…（4分） 所以，∴A=d，B=a1+d，C=a1-d， 所以3A-B+C=0．       …（10分）
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考点分析：
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试题属性
  • 题型：解答题
  • 难度：中等
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