Question

已知椭圆E的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，离心率，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知直线l：y=x+m与椭圆E相交于M，N两点，且OM⊥ON（其中O为坐标原点），求m的值．

Answer

（1）利用待定系数法，根据离心率，且，建立方程，求得几何量，即可求椭圆E的方程；
（2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值．
【解析】
（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），半焦距为c，
由得，，得a2=2b2…（2分）
由得，a2+b2=6，…（4分）
故a2=4，b2=2
所以，椭圆E的方程为…（6分）
（2）由，消去y，并整理得：3x2+2mx+m2-4=0，…（7分）
由判别式△=4m2-12（m2-4）＞0，解得…（9分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，…（10分）
由OM⊥ON，得…（11分）
又=，
故…（14分）