Question

已知函数f（x）=x³-3ax．
（1）当a=1时，求函数f（x）在闭区间[-2，2]上的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（1）当a=1时，f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），令f'（x）=0，得x=-1或x=1，列表讨论，能求出f（x）在[-2，2]上的极大值和极小值．
（2）f'（x）=3x2-3a=3（x2-a），根据a的符号进行分类讨论，能得到函数f（x）的单调性．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x3-3x，
f'（x）=3x2-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）=0，得x=-1或x=1，…（2分）
当x在区间（-2，2）上变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x （-2，-1） -1 （-1，1） 1 （1，2）
f'（x） 正 负 正
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

故f（x）在[-2，2]上有极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2．…（6分）
（2）f'（x）=3x2-3a=3（x2-a）
当a≤0时，f'（x）≥0在R上恒成立，
故f（x）在R上为增函数  …（8分）
当a＞0时，由f'（x）≥0得：或；
由f'（x）≤0得：，
故f（x）在和上为增函数，
在上为减函数．…（11分）
综上：当a≤0时，f（x）在R上为增函数；
当a＞0时，f（x）在和上为增函数，在上为减函数．…（12分）