Question

在数列{a_n}中，已知，，当n≥2且n∈N^*时，有．
（1）若b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求证：对任意n∈N^*，都有．

Answer

（1）根据题意在数列{an}中，已知，，根据等比数列的性质，证明等于一个常数即可；
（2）数列{bn}是等比数列，，可得对an进行拆分，可得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，然后进行求和，再进行证明；
【解析】
（1）当n=1时，有…（1分）
当n≥2时，有=
故数列{bn}是等比数列，其首项为，公比为…（5分）
（2）由（1）知即…（6分）
故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=…（10分）
当n∈N*时，有，故，
故，即…（13分）