Question

如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A（-2，0）、B（2，0）、C（0，-1）三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D（0，-2）、作平行于x轴的直线
l₁、l₂．
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）求证以ON为直径的圆与直线l₁相切；
（3）求线段MN的长（用k表示），并证明M、N两点到直线l₂的距离之和等于线段MN的长．

Answer

（1）设函数解析式为y=ax2+bx+c，然后利用待定系数法求解即可；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），然后代入抛物线方程，用含y2的式子表示出ON，设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，利用梯形的中位线定理可得出EF，与所求ON的值进行比较即可得出结论；
（3）过点M作MH丄NP交NP于点H，在RT△MNH中表示出MN2，结合直线方程将MN2化简，求出MN，然后延长NP交l2于点Q，过点M作MS丄l2交l2于点S，则可证M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
（1）【解析】
设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由函数经过（-2，0），B（2，0），C（0，-1）三点可得：，解得a=，b=0，c=-1，
所以y=x2-1；
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），因为点M、N在抛物线上，

所以 y1=-1，y2=-1，所以=4（y2+1）；
又ON2=x22+y22=4（y2+1）+y22=（y2+2）2，所以ON=|2+y2|，
又因为y2为正，所以ON=2+y2，
设ON的中点E，分别过点N、E向直线l、作垂线，垂足为P、F，则EF==1+，
所以ON=2EF，即ON的中点到直线l1的距离等于ON长度的一半，
所以以ON为直径的圆与l1相切；
（3）【解析】
过点M作MH⊥NP交NP于点H，则MN2=MH2+NH2=（x2-x1）2+（y2-y1）2，
又y1=kx1，y2=kx2，所以（y2-y1）2=k2（x2-x1）2
所以MN2=（1+k2）（x2-x1）2；
又因为点M，N在y=kx的图象上又在抛物线上，
所以kx=x2-1，即x2-4kx-4=0，所以x==2k±2
所以（x2-x1）2=16（1+k2）
所以MN2=16（1+k2）2，MN=4（1+k2）．
证明：延长NP交l2于点Q，过点M作MS丄l2交l2于点S，
则MS+NQ=y1+2+y2+2=-1+-1+4=（+）+2
又+=（x1+x2）2-2x1x2=16k2+8，
所以MS+NQ=4k2+2+2=4（1+k2）=MN，即M、N两点到l2距离之和等于线段MN的长．