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高中数学试题
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如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2...
如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AA
1
⊥面ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA
1
=3,D为AC的中点.
(Ⅰ)求证:AB
1
∥面BDC
1
;
(Ⅱ)求二面角C
1
-BD-C的余弦值;
(Ⅲ)在侧棱AA
1
上是否存在点P,使得CP⊥面BDC
1
?并证明你的结论.
(I)连接B1C,与BC1相交于O,连接OD,我们由三角形的中位线定理,易得OD∥AB1,进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1; (Ⅱ)建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量,代入向量夹角公式,即可得到二面角C1-BD-C的余弦值; (Ⅲ)假设侧棱AA1上存在点P,使得CP⊥面BDC1,我们可以设出P点坐标,进而构造方程组,若方程组有解说明存在,若方程组无解,说明满足条件的P点不存在. 证明:(I)连接B1C,与BC1相交于O,连接OD ∵BCC1B1是矩形, ∴O是B1C的中点. 又D是AC的中点, ∴OD∥AB1.(2分) ∵AB1⊄面BDC1,OD⊂面BDC1, ∴AB1∥面BDC1.(4分) 【解析】 (II)如图,建立空间直角坐标系,则 C1(0,0,0),B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0), D(1,3,0)(5分) 设=(x,y,z)是面BDC1的一个法向量,则 即,令x=1 则=(1,,).(6分) 易知=(0,3,0)是面ABC的一个法向量. ∴cos<,>=.(8分) ∴二面角C1-BD-C的余弦值为.(9分) (III)假设侧棱AA1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3),使得CP⊥面BDC1. 则,即 ∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA1上不存在点P,使CP⊥面BDC1.(14分)
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考点分析:
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2
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2
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2
的系数是
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试题属性
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