Question

F是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，过焦点F且倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，设|AF|=a，|BF|=b，则：
①若θ=60°且a＞b，则的值为    ；②a+b=    （用p和θ表示）．

Answer

①过A、B两点向准线l作垂线AC、BD，由抛物线定义知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，过B作BE⊥AC，E为垂足，则可得|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，|AB|=|FA|+|FB|=a+b，利用∠BAE=∠AFx=60°，可得结论；
②设直线方程为x=my+，代入抛物线y2=2px可得y2-2pmy-p2=0，利用韦达定理，表示弦长，化简可得结论．
【解析】
①过A、B两点向准线l作垂线AC、BD，由抛物线定义知：|AC|=|FA|=a，|BD|=|FB|=b，
过B作BE⊥AC，E为垂足，∴|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=a-b，
又|AB|=|FA|+|FB|=a+b，∠BAE=∠AFx=60°．
在直角△AEB中，cos∠BAE=，所以cos60°=
∴a=3b
∴=3
②设直线方程为x=my+，代入抛物线y2=2px可得y2-2pmy-p2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pm，∴x1+x2=2pm2+p
∴a+b=|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p
当θ≠时，∵，∴，∴a+b=|AB|=2pm2+2p==
当θ=时，|AB|=2p，结论同样成立
故答案为：3；