Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1
（1）求f（x）的解析式；
（2）设，求F（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值时对应的x值．

Answer

（1）利用二次函数f（x）=ax2+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1，确定关于a，b的方程组，即可求得函数的解析式；
（2）利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，可求f（x）的最大值和最小值及取得最大值最小值时对应的x值．
【解析】
（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx，满足f（x-1）=f（x）+x-1
∴a（x-1）2+bx（x-1）=ax2+bx+x-1
∴ax2-（2a-b）x+a-b=ax2+（b+1）x-1
∴
∴
∴f（x）=-…（4分）
（2）由（1）知…（6分），
令t=log2x，
则，（-2≤t≤2）
∴t=-，即，x=，亦即时，F（x）min=-                       …（10分）
当t=2，即x=4时，F（x）max=12                      …（12分）