Question

已知椭圆的一个顶点为B（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x-y+2=0的距离为3．  
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点M、N，直线l的斜率为k（k≠0），当|BM|=|BN|时，求直线l纵截距的取值范围．

Answer

（1）由椭圆的一个顶点为B（0，-1），知b=1，由焦点在x轴上，右焦点F到直线x-y+2=0的距离为3，解得c=．由此能求出椭圆方程．  
（2）设P为弦MN的中点，由，得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0．利用根的判别式和韦达定理，结合题设能求出m的取值范围．
【解析】
（1）∵椭圆的一个顶点为B（0，-1），
∴b=1，
∵焦点在x轴上，∴设右焦点F（c，0），c＞0
∵右焦点F到直线x-y+2=0的距离为3，
∴3=，解得c=．
∴a2=b2+c2=1+2=3，
∴椭圆方程为．
（2）设P为弦MN的中点，
由得（3k2+1）x2+6kmx+3（m2-1）=0．
由△＞0，得m2＜3k2+1  ①，
∴xP=，
从而yP=kxp+m=．
∴kBP=．
由MN⊥BP，得=-，
即2m=3k2+1②．
将②代入①，得2m＞m2，
解得0＜m＜2．由②得k2=＞0．
解得m＞．故所求m的取值范围为（，2）．