Question

已知函数f（x）=．
（1）若a=8，求f（x）在区间[-6，3]上的最大值；
（2）若g（x）=在（-∞，0）上恰有两个极值点，求a的取值范围．

Answer

（1）将a=8代入求出函数的解析式及导函数的解析式，分析函数的单调性，进而求出f（x）在区间[-6，3]上的最大值；
（2）若g（x）=在（-∞，0）上恰有两个极值点，则g′（x）在（-∞，0）上恰有两个相异实根，根据韦达定理及△的符号构造不等式组可得答案．
【解析】
（1）当a=8时，函数f（x）=．
∴f′（x）=x2+2x-8
令f′（x）=0，则x=-4，或x=2
当-6＜x＜-4时，f′（x）＞0，当2＜x＜3时，f′（x）＞0，当-4＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）极大值=f（-4）=
又∵f（-6）=12，f（3）=-6
f（x）的最大值为
（2）∵g（x）==（x2+3x-3a）ex
∴g′（x）=（x2+5x+3-3a）ex
∵g（x）=在（-∞，0）上恰有两个极值点，
∴g（x）=0在（-∞，0）上恰有两个相异实根
即x2+5x+3-3a=0在（-∞，0）上恰有两个相异实根
∴
解得：＜a＜1