Question

如图，已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为棱BC，CC₁的中点．
（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求四棱锥A-MB₁C₁C与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积比．

Answer

（1）在正方形BB1C1C中，利用三角形全等证出BN⊥B1M，再利用直三棱柱的性质和面面垂直的判定与性质，得到BN⊥AM，从而得到BN⊥平面AB1M，再由AB1⊂平面AB1M，得BN⊥AB1；
（2）利用勾股定理，算出四棱锥A-MB1C1C的高为AM=3，结合四边形MB1C1C的面积，可算出四棱锥A-MB1C1C的体积为48；而由已知条件易算出三棱柱ABC-A1B1C1的体积为96，由此可得四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比．
【解析】
（1）∵直棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，
∴侧面BB1C1C为正方形
∵M，N分别为BC，CC1的中点，
∴Rt△BCN≌Rt△B1BM，得∠CBN=∠BB1M=90°-∠NBB1，
由此可得∠NBB1+∠BB1M=90°，得BN⊥B1M
∵直棱柱ABC-A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，B1B⊂平面BB1C1C
∴平面ABC⊥平面BB1C1C
∵△ABC中，AB=AC=5，M为BC中点，∴AM⊥BC
∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AM⊂平面ABC
∴AM⊥平面BB1C1C，结合BN⊂平面BB1C1C，得BN⊥AM
∵AM、B1N是平面AB1M内的相交直线
∴BN⊥平面AB1M，再由AB1⊂平面AB1M，得BN⊥AB1；
（2）∵AB=5，MB=BC=4，∴AM==3
∴四棱锥A-MB1C1C的体积：VA-MB1C1C=S四边形MB1C1C•AM=×（82-×8×4）=48
又∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=×8×3×8=96
∴四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比为48：96=1：2．