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如图,已知直棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=BB1=8,M,N...

如图,已知直棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=5,BC=BB1=8,M,N分别为棱BC,CC1的中点.
(1)求证:BN⊥AB1
(2)求四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比.

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(1)在正方形BB1C1C中,利用三角形全等证出BN⊥B1M,再利用直三棱柱的性质和面面垂直的判定与性质,得到BN⊥AM,从而得到BN⊥平面AB1M,再由AB1⊂平面AB1M,得BN⊥AB1; (2)利用勾股定理,算出四棱锥A-MB1C1C的高为AM=3,结合四边形MB1C1C的面积,可算出四棱锥A-MB1C1C的体积为48;而由已知条件易算出三棱柱ABC-A1B1C1的体积为96,由此可得四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比. 【解析】 (1)∵直棱柱ABC-A1B1C1中,BC=BB1, ∴侧面BB1C1C为正方形 ∵M,N分别为BC,CC1的中点, ∴Rt△BCN≌Rt△B1BM,得∠CBN=∠BB1M=90°-∠NBB1, 由此可得∠NBB1+∠BB1M=90°,得BN⊥B1M ∵直棱柱ABC-A1B1C1中,B1B⊥平面ABC,B1B⊂平面BB1C1C ∴平面ABC⊥平面BB1C1C ∵△ABC中,AB=AC=5,M为BC中点,∴AM⊥BC ∵平面ABC∩平面BB1C1C=BC,AM⊂平面ABC ∴AM⊥平面BB1C1C,结合BN⊂平面BB1C1C,得BN⊥AM ∵AM、B1N是平面AB1M内的相交直线 ∴BN⊥平面AB1M,再由AB1⊂平面AB1M,得BN⊥AB1; (2)∵AB=5,MB=BC=4,∴AM==3 ∴四棱锥A-MB1C1C的体积:VA-MB1C1C=S四边形MB1C1C•AM=×(82-×8×4)=48 又∵三棱柱ABC-A1B1C1的体积V三棱柱ABC-A1B1C1=S△ABC•BB1=×8×3×8=96 ∴四棱锥A-MB1C1C与三棱柱ABC-A1B1C1的体积比为48:96=1:2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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