Question

如图，△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P-AC-B的大小为45°．
（I）求二面角P-BC-A的正切值；
（II）求二面角C-PB-A的正切值．

Answer

（I）由题设知BC=5，平面APB⊥平面ABC，∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的正切值．
【解析】
（I）∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=5，
∵平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，
∴平面APB⊥平面ABC，
∵∠BAC=90°，∴AC⊥平面APB，
∴∠PAB是二面角P-AC-B的平面角，
∵二面角P-AC-B的大小为45°，
∴∠PAB=45°，
∴PM=AM==2，
作AD⊥BC，交BC于D，连接PD，
则∠PDM是二面角P-BC-A的平面角，
∵△BDM∽△BAC，∴，
∴==，
∴tan∠PDM===，
故二面角P-BC-A的正切值为．
（II）以AC为x轴，以AB为y轴，以过点A作MP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，PM=2，AM=2，
∴C（3，0，0），B（0，4，0），P（0，2，2），A（0，0，0），
∴，，，，
设平面CPB的法向量为，则，，
∴，解得，
设平面APB的法向量为，则，，
∴，解得，
设二面角C-PB-A的平面角为θ，
cosθ=|cos＜＞|=．
∴tanθ=，
∴二面角C-PB-A的正切值为．