Question

在△ABC中，已知角A、B、C．所对的边分别是a、b、c，边c=，且tanA+tanB=-tanA．tanB，又△ABC的面积为，求a+b的值．

Answer

将已知等式tanA+tanB=-tanAtanB变形后，利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出sinC与cosC的值，由已知的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式求出ab的值，再由c及cosC的值，利用余弦定理及完全平方公式列出关系式，将ab的值代入，开方即可求出a+b的值．
【解析】
∵tanA+tanB=-tanAtanB，
∴=，即tan（A+B）=，
∴tan（π-C）=，即tanC=-，
∵C为三角形的内角，
∴C=，
∵S△ABC=absinC=ab×=，∴ab=6，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：（）2=a2+b2-2abcos，
∴a2+b2+ab=（a+b）2-ab=（a+b）2-6=，即（a+b）2=，
∵a+b＞0，
∴a+b=．