Question

已知函数f（x）=x³-3ax，（a＞0）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）求函数y=f（x）在x∈[0，1]上的最小值．

Answer

（1）将a=1代入，求出函数的导数，利用导数求出其单调区间即可．
（2）求出函数的导数，利用导数研究函数在区间[0，1]上的单调性，求出最小值即可．本题中导数带着参数，故求解时要对其范围进行讨论．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x3-3x，所以f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0得x=±1，列表：

x （-∞，-1） -1 （-1，1） 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间是（-1，1）（6分）
（2）由∵x∈[0，1]
①当0＜a＜1时，

x 1
f'（x） - +
f（x） ↗ ↗ 1-3a

当取得最小值，最小值为．（9分）
②当a≥1时，f'（x）≤0，f（x）在x∈[0，1]上是减函数，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为1-3a．
综上可得：（12分）