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已知函数f(x)=2x-1,对于满足0<x1<x2的任意x1,x2,给出下列结论...

已知函数f(x)=2x-1,对于满足0<x1<x2的任意x1,x2,给出下列结论:
(1)(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0    (2)x2f(x1)<x1f(x2
(3)f(x2)-f(x1)>x2-x1           (4)manfen5.com 满分网>f(manfen5.com 满分网
其中正确结论的序号是( )
A.(1)(2)
B.(1)(3)
C.(2)(4)
D.(3)(4)
本题要借助指数函数的图象与性质来研究,对四个命题的形式加以变化变成规范的形式,利用相关的性质判断即可. 对于选项(1)由于)(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0 等价于<0故可借助函数的图象的单调性得出结论 对于选项(2)由于x2f(x1)<x1f(x2)等价于,可借助函数图象上点的几何意义得出结论 对于选项(3)由于f(x2)-f(x1)>x2-x1⇔,故可借助函数的图象上点的切线斜率变化规律得出结论 对于选项(4)>f()说明函数是一个凹函数,以此由函数图象即可得出结论. 解(1)∵f(x)=2x-1为R上的单调增函数,故满足0<x1<x2的任意x1,x2,总有f(x1)<f(x2),即f(x2)-f(x1)>0,∴(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,故(1)错误; (2)设y===,其几何意义为f(x)图象上的点与原点连线斜率,由函数f(x)=2x-1在(0,+∞)上的图象可知y=为增函数,∵0<x1<x2, ∴<,即x2f(x1)<x1f(x2),(2)正确; (3)∵函数f′(x)=2xln2,由x>0,∴2xln2∈(ln2,+∞),即存在x,使f′(x)<1,而f(x2)-f(x1)>x2-x1⇔⇔函数f(x)在所给的区间上导数值恒大于1,∴(3)错误; (4)>f()反映函数f(x)为凹函数,由f(x)=2x-1的图象可知此函数在(0,+∞)上确为凹函数,(4)正确 故正确结论的序号是:(2)、(4) 故选 C
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