Question

设函数f（x）=x|x-a|+b．
（1）求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0．
（2）设常数b＜-1，且对任意x∈[0，1]，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）欲证f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0，须证两个方面：①充分性：若a2+b2=0⇒f（x）为奇函数，②必要性：若f（x）为奇函数⇒a2+b2=0；
（2）分类讨论：①当x=0时a取任意实数不等式恒成立；②当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，再转化为x+＜a＜x-恒成立问题，下面利用函数g（x）=x+的最值即可求得实数a的取值范围．
（1）证明：充分性：若a2+b2=0，则a=b=0，
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立…（2分）
必要性：若f（x）为奇函数，
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
∴f（0）=0，解得b=0，
∴f（x）=x|x-a|，
由f（1）+f（-1）=0，即|1-a|-|a+1|=0，|1-a|=|1+a|得：a=0．
∴a2+b2=0．
故f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0…（5分）
（2）【解析】
由b＜-1＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立…（6分）
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+＜a＜x-恒成立…（8分）
令g（x）=x+在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g（x）max=g（1）=1+b…（10分）
令h（x）=x-，则h（x）在（0，]上单调递减，[，+∞）单调递增，
当b＜-1时h（x）=x-在0＜x≤1上单调递减，
∴a＜h（x）min=h（1）=1-b．
∴1+b＜a＜1-b…（12分）