Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，a₂=3，前n项的和为S_n，且S_n+1、S_n、S_n-1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，，设b₁=1，b_n+1=log₂（a_n+1）+b_n．
（1）判断数列{a_n+1}是否为等比数列，并证明你的结论．
（2）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer

（1）用Sn+1、Sn、Sn-1表示出和进而根据题意求得推断出an+1+1=2（an+1）根据等比数列的定义判断出数列{an+1}是等比数列．
（2）把（1）中求得an代入题设，求得bn的表达式，进而可求得Cn，进而用裂项法求得答案．
（1）【解析】
判断数列{an+1}为等比数列，证明如下：
由题意Sn+1、Sn、Sn-1（n≥2）分别是直线l上的点A、B、C的横坐标，，
得
∴an+1+1=2（an+1）（n≥2），又∵a1=1，a2=3
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
则an+1=2n
∴an=2n-1（n∈N*）]
（2）证明：由an=2n-1及bn+1=log2（an+1）+bn得bn+1=bn+n，
∴，
则=，
数列{cn}的前n项和为Tn为：=．