Question

已知定义在R上的函数f（x），满足条件：①f（x）+f（-x）=2，②对非零实数x，都有．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数，直线与函数y=g（x）交于A_n，又B_n为A_n关于直线y=x的对称点，（其中n∈N^*），求|A_nB_n|；
（3）设a_n=|A_nB_n|，S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：当n≥2时，．

Answer

（1）当x≠0时，由，可得，两式联立，即可得函数f（x）的解析式；
（2）由（1）得，直线与函数y=g（x）联立，求出An、Bn的坐标，从而可求|AnBn|；
（3）由（2）知，利用，可得当n≥2时，，累加得：，从而可证结论．
【解析】
（1）当x≠0时，，故 
两式联立可得，f（x）=x+1（x≠0）
又当x=0时，有f（0）=1，∴f（x）=x+1；
（2）由（1）得，直线与函数y=g（x）联立可得，
∴
由此可得
所以，
（3）由（2）知，
∵，∴，
∴当n≥2时，，，…，
累加得：
又∵==
∴．