Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：x+y+m=0与抛物线交于A、B两点．
（1）若m=-1，求弦AB的长；
（2）若P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x₂、x₁、x₃成等差数列；
（3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y2+4y-4=0，由此可求弦AB的长；
（2）直线PQ、QR、RP的斜率分别为，，，利用直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，建立方程，利用P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点可得，，，将它们分别相减，整理可得=，=，=，从而可知x2、x1、x3成等差数列；
（3）设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则直线PA、PB的斜率分别为：，，从而可得2y1+y2+y3=0，进而可得存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．
（1）【解析】
将直线l：x+y-1=0与抛物线方程联立，消元可得y2+4y-4=0
∴y=-2+2或-2-2，∴x=3-2或3+2
∴弦AB的长为
（2）证明：直线PQ、QR、RP的斜率分别为，，
∵直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列
∴2×=+
∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）、R（x3，y3）是抛物线C上的三点
∴，，
将它们分别相减，整理可得=，=，=
∴2×=+
∴-=-
∴4x1-4x3=4x2-4x1
∴x1-x3=x2-x1
∴x2、x1、x3成等差数列；
（3）【解析】
设存在一个定点P（x1，y1），使得直线PA、PB的斜率互为相反数，设A（x2，y2）、B（x3，y3），则
直线PA、PB的斜率分别为：，
∴+=0
∴+=0
∴2y1+y2+y3=0
由（1）知，y2+y3=-4，∴2y1-4=0，∴y1=2，∴x1=1
∴存在点P（1，2），使得直线PA、PB的斜率互为相反数．