Question

已知．
（1）求函数f（x）的最大值g（m）的解析式；
（2）若g（m）≥t+m+2对任意m∈[-4，0]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer

（1）令log2x=y∈[1，3]，可得f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]2+m2+2m+1，讨论对称轴 y=1-m，得 函数f（x）的最大值g（m）的解析式．
（2）根据题意：t≤g（m）-m-2对任意的m∈[-4，0]恒成立，①当m∈[-4，-2）时，t≤-3m-5，可得t≤1．②当m∈[-2，0]时，t≤m2+m-1恒成立，求得，综合可得实数t的取值范围．
【解析】
（1）∵，∴1≤log2x≤3，
∵f（x）=（2m+log2x）（2-log2x），令log2x=y∈[1，3]，
∴f（x）=（2m+y）（2-t）=-[y-（1-m）]2+m2+2m+1，…（4分）
讨论对称轴 y=1-m，得  ．…（10分）
（2）根据题意：t≤g（m）-m-2对任意的m∈[-4，0]恒成立，
①当m∈[-4，-2）时，t≤-3m-5，由于-3m-5关于m单调递减，∴t≤-3（-2）-5=1．…（12分）
②当m∈[-2，0]时，t≤m2+m-1，
而，∴．…（15分）
综上，．…（16分）