Question

函数f（x）为定义在R上的奇函数，当 x∈（0，1）时，．
（1）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性并证明．

Answer

（1）函数f（x）为定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；再根据当x∈（0，1）时的表达式，可得x∈（-1，0）时，
f（x）=-，综上所述即得函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）利用单调性的定义，令0＜x1＜x2＜1，可得f（x1）-f（x2）=，因为-＜0，•＞0，所以f（x1）＜f（x2）．由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．
【解析】
（1）∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-0）=-f（0），可得f（0）=0，
当x∈（-1，0）时，f（-x）===-f（x），
∴x∈（-1，0）时，f（x）=-
综上所述，
（2）∵当 x∈（0，1）时，．
∴令0＜x1＜x2＜1，可得f（x1）-f（x2）=-=
∵-＜0，＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，可得f（x1）＜f（x2）
由此可得，函数f（x）在（0，1）上的是单调增函数．