Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且．
（1）求f（1）；
（2）求证f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）若f（2）=1，解不等式．

Answer

（1）结合所给的抽象表达式，只需令x=y≠0即可获得问题的解答；
（2）结合抽象表达式用xy代替x，y不变，即可获得转化即可获得问题的解答；
（3）首先利用数值的搭配计算f（4）=2，进而对不等式进行转化，然后结合函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且
f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），进而可分析出函数在（0，+∞）上的单调性，结合变性后的抽象函数即可获得自变量x的要求，进而问题即可获得解答．
【解析】
（1）令x=y≠0，可得f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0．
（2）由题意得：，
∴f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴，
∴f（x（x-3））≤f（4），
因为：f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），
而函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
故函数y=f（x）在区间（0，+∞）上单调增函数，
于是原不等式可化为，∴3＜x≤4
∴原不等式的解集为（3，4]．